Tags

,

BUKAN… Ini bukan tentang pemrograman. Kita refresing sejenak dari dunia koding-mengkoding. Kita akan berkenalan dengan sepupu dekatnya yaitu matematika. Temen-temen programer mungkin tidak asing dengan nested function atau kawannya recursive function. Jangan salah, matematikalah yang lebih dulu memperkenalkan konsep tersebut dibanding C++ atau pascal. Contoh nested function yang sudah kita kenal waktu SMA misalnya
x=\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{...}}}}}
atau barisan fibonacci yang biasanya dinyatakan dengan
f(n+2) = f(n) + f(n+1)

Persamaan lain yang mungkin agak asing misalnya
Screenshot from 2016-02-08 18:04:22
Untuk contoh pertama. Bagaimana kita menyelesaikan persamaan tersebut? Ini yang akan kita bahas.
Kita asumsikan nilainya adalah konvergen. Maka kalau kita kuadratkan
x^2 = n + \sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{n+\sqrt{...}}}}}
Kita lihat, suku kedua ruas kanan adalah sama dengan nilai x. Jadi bentuk di atas bisa kita tulis
x^2 = n + x
x^2 - x - n = 0, yang adalah persamaan kuadrat. Nilai x adalah
x = \frac{1\pm \sqrt{4n+1}}{2}, karena nilai x pasti hanya positif maka
x = \frac{1 + \sqrt{4n+1}}{2}

Contoh soal. Berapakah nilai dari
x = \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{...}}}}}
Jawab. Dari persamaan yang sudah kita turunkan. Kita dapat nilai dari x adalah
x = \frac{1 + \sqrt{4.6+1}}{2}
x = \frac{1 + \sqrt{25}}{2}
x = 3

Screenshot from 2016-02-08 19:12:01
Ok. Sekarang kita coba persamaan lain yang sedikit lebih sulit. Persamaan ini memerlukan trik yang sedikit berbeda. Tentu saja bagi yang sudah tahu akan mudah saja. Tetapi bagi yang baru pertama lihat mungkin akan perlu banyak waktu untuk melihat polanya. Itulah kenapa matematika kadang lebih terasa seperti sebuah seni dari pada sains :D.

Misal n adalah bilangan positif, maka 1+n = \sqrt{(1+n)^2}
1 + n = \sqrt{1 + 2n + n^2}
1 + n = \sqrt{1 + n(2 + n)}
1 + n = \sqrt{1 + n(1 + (n+1))}
Lihat suku terakhir dalam akar yaitu 1 + (n+1). Kalau kita kembangkan, akan kita peroleh
1 + (n+1) = \sqrt{1 + (n+1)(1 + (n+2))}, jadinya
1 + n = \sqrt{1 + n\sqrt{1 + (n+1)(1 + (n+2))}}
Kalau kita terus lanjutkan, jadinya
1 + n = \sqrt{1 + n\sqrt{1 + (n+1)\sqrt{1 + (n+2)\sqrt{...}}}}
Kalau kita ganti n dengan angka 2, maka akan diperoleh
1 + 2 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{...}}}}

Dengan demikian jawaban untuk soal dalam gambar adalah 1 + 2 = 3.

Gimana. Matematika itu menyenangkan, bukan? Untuk persamaan-persamaan yang lain Insyaallah kita bahas di seri-seri berikutnya 😀

Advertisements